ادامه حل تمرین صفحه 81 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 6 صفحه 81 حسابان دوازدهم محاسبه $f'(-1)$ یعنی یافتن **شیب خط مماس** بر منحنی $f(x) = x^3 - 2$ در نقطه با طول $x = -1$. 💡 --- ## 1. محاسبه تابع مشتق با استفاده از قوانین مشتق: $$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 2) = 3x^2 - 0$$ $$f'(x) = 3x^2$$ ## 2. محاسبه $f'(-1)$ مقدار $x = -1$ را در تابع مشتق جایگذاری می‌کنیم: $$f'(-1) = 3(-1)^2 = 3(1) = 3$$ **پاسخ نهایی:** $\mathbf{f'(-1) = 3}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 7 صفحه 81 حسابان دوازدهم برای ارزیابی درستی و نادرستی گزاره‌ها، باید **علامت (جهت)** و **قدر مطلق (تندی)** شیب (مشتق) را در هر نقطه از روی نمودار تحلیل کنیم. 🧐 --- ## 1. تحلیل شیب در هر نقطه | نقطه | وضعیت تابع | علامت شیب (روند) | تندی شیب | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **A** | صعودی | **مثبت** | بسیار تند (بزرگترین شیب مثبت) $| | **B** | ماکزیمم محلی | **صفر** | صفر $| | **C** | نزولی | **منفی** | نسبتاً تند (منفی بزرگ) $| | **D** | مینیمم محلی | **صفر** | صفر $| | **E** | صعودی | **مثبت** | نسبتاً تند (مثبت کوچک) $| | **F** | نزولی | **منفی** | نسبتاً کم (منفی کوچک) $| ## 2. بررسی گزاره‌ها ### الف) شیب منحنی در همه این نقاط مثبت است. * **بررسی:** شیب در $C$ و $F$ منفی و در $B$ و $D$ صفر است. * **نتیجه:** **نادرست** ❌ ### ب) $\frac{m_A}{2} < m_B$ * **بررسی:** $m_B = 0$. $m_A$ مثبت است ($m_A > 0$). پس $\frac{m_A}{2}$ مثبت است. آیا $\frac{m_A}{2} < 0$؟ خیر، یک عدد مثبت نمی‌تواند از صفر کوچک‌تر باشد. * **نتیجه:** **نادرست** ❌ ### پ) $m_E < m_B < m_A$ * **بررسی:** $m_A > 0$ و $m_E > 0$ و $m_B = 0$. * $m_B = 0$ از $m_A$ بزرگتر نیست. $m_A$ باید بزرگترین باشد. * **ترتیب صحیح بین این سه باید باشد:** $m_B < m_E < m_A$ (صفر < شیب مثبت کوچک < شیب مثبت بزرگ) * **نتیجه:** **نادرست** ❌ ### ت) شیب منحنی در نقاط $F, D$ و $C$ منفی است. * **بررسی:** $m_F$ منفی و $m_C$ منفی است، اما $m_D$ **صفر** است (دره). * **نتیجه:** **نادرست** ❌ ### ث) $m_F < m_D < m_C$ * **بررسی:** $m_C$ منفی تند است، $m_F$ منفی خوابیده است و $m_D$ صفر است. * **مقادیر تقریبی:** $m_C \approx -2$, $m_F \approx -0.5$, $m_D = 0$. * **ترتیب:** $-2 < -0.5 < 0$. پس: $m_C < m_F < m_D$. * **نتیجه:** **نادرست** ❌ (ترتیب داده شده در گزاره غلط است) ### ج) $m_C < m_D < m_F < m_E < m_B < m_A$ * **بررسی:** بیایید مقادیر واقعی را در این ترتیب جایگذاری کنیم: * $\text{منفی‌ها:} \quad m_C \approx -2 < m_F \approx -0.5$ (درست) * $\text{انتقال به صفر:} \quad m_F < m_D = 0$ (درست) * $\text{مثبت‌ها:} \quad m_D = 0 < m_E \approx 1 < m_A \approx 3$ (فرض کنیم $m_B$ نیز 0 باشد) * **اشکال اصلی:** $m_D = 0$. اگر $m_B$ نیز صفر باشد، باید برابر باشند. در این گزاره $m_F < m_E$ است که $-0.5 < 1$ است. همچنین $m_E < m_B$ که $1 < 0$ است. این قسمت **نادرست** است. * **ترتیب صحیح (کوچکترین به بزرگترین):** $athbf{m_C < m_F < m_D = m_B < m_E < m_A}$ (با فرض $m_D=m_B=0$) * **نتیجه:** **نادرست** ❌ (هیچ گزاره‌ای که به طور کامل از لحاظ تحلیلی درست باشد، وجود ندارد. با این حال، اگر $m_D$ و $m_B$ را صفر و $m_E$ و $m_A$ را مثبت در نظر بگیریم، تنها گزاره‌ای که ترتیب نسبی منفی‌ها را درست بیان کرده است، ث است اما ترتیب داده شده در گزاره ج درست نیست.) **تذکر:** با فرض اینکه در گزاره «پ» منظور $m_E$ و $m_A$ بوده و $m_B=0$ است، می‌توانستیم بگوییم $m_B < m_E < m_A$ درست است. اما به دلیل وجود خطای منطقی در گزاره‌ها (مانند $m_E < m_B$), تنها می‌توانیم بگوییم **گزاره درست وجود ندارد** یا باید فرض کنیم منظور طراح یک اشتباه تایپی بوده است. با فرض اینکه طراح خواسته است ترتیب $m_C < m_F < 0 < m_E < m_A$ را بسنجد، گزاره **ث** از لحاظ **ترتیب مقادیر منفی** درست است: **$-2 < -0.5$**.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 8 صفحه 81 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین نیازمند استفاده از اطلاعات مشتق ($f'(x)$) و مقدار تابع ($f(x)$) در نقاط مشخص شده برای یافتن مختصات کامل است. 📐 **اطلاعات داده شده:** * **تابع:** $y = f(x)$ * **مشتق در $x=2$:** $f'(2) = 1.5$ * **مقدار تابع در $x=4$:** $f(4) = 2.5$ **تحلیل نمودار:** 1. **نقطه $A$:** روی نمودار در **$x=4$** قرار دارد. 2. **نقطه $B$:** روی نمودار در **$x=5$** قرار دارد. 3. **نقطه $C$:** روی خط مماس در **$x=3$** قرار دارد. --- ## 1. یافتن مختصات نقطه $A$ نقطه $A$ با طول $x_A = 4$ روی منحنی $f$ قرار دارد. مقدار $f(4)$ داده شده است. $$y_A = f(4) = 2.5$$ * **مختصات $A$:** $\mathbf{(4, 2.5)}$ --- ## 2. یافتن مختصات نقطه $B$ نقطه $B$ با طول $x_B = 5$ روی منحنی $f$ قرار دارد. مقدار $y_B = f(5)$ را از روی نمودار می‌یابیم. * از روی نمودار، مختصات $y$ نقطه $B$ با خط‌چین نشان داده نشده، اما به نظر می‌رسد که $B$ از $A$ بالاتر است. * با توجه به اینکه هیچ ضابطه‌ای برای $f(x)$ داده نشده است، و با فرض اینکه طراح قصد داشته از نمودار خوانده شود، و با در نظر گرفتن $A(4, 2.5)$، نقطه $B$ در $x=5$ قرار دارد. با توجه به مقیاس محور $y$، $y_B$ به نظر می‌رسد $\mathbf{3}$ باشد. * **مختصات $B$ (تخمینی از نمودار):** $\mathbf{(5, 3)}$ --- ## 3. یافتن مختصات نقطه $C$ نقطه $C$ با طول $x_C = 3$ روی **خط مماس** قرار دارد. این خط مماس بر منحنی در **نقطه‌ای نامشخص** رسم شده است. * **فرض اولیه:** با توجه به شکل، خط مماس در نقطه $C$ بر منحنی **مماس نیست**، بلکه فقط یک خط است که نقطه $C$ روی آن است. * **تفسیر معمول:** در تمرین‌هایی با این ساختار، اغلب اطلاعات مشتق ($f'(a)$) به نقطه تماس اشاره دارد. از آنجا که $f'(2)=1.5$ داده شده، فرض می‌کنیم خط صورتی در واقع **خط مماس در $x=2$** است (اگرچه نقطه تماس در نمودار نشان داده نشده). * **معادله خط مماس در $x=2$:** $$y - f(2) = f'(2) (x - 2)$$ * **نقص اطلاعات:** مقدار $f(2)$ داده **نشده** است. این نشان دهنده یک **نقص جدی در اطلاعات مسئله** است. * **تفسیر جایگزین (تنها راه حل ممکن با اطلاعات موجود):** نقطه $C(3, y_C)$ بر روی خط مماس در **نقطه $A(4, 2.5)$** قرار دارد. اگر این فرض را بپذیریم، به $f'(4)$ نیاز داریم که داده نشده است. **با فرض اینکه خط صورتی خط مماس در $x=3$ باشد،** باید $f'(3)$ را می‌دانستیم. **با فرض وجود نقص، تنها می‌توان مختصات $C$ را از روی نمودار خواند:** * نقطه $C$ در $x=3$ قرار دارد. با نگاه به نمودار، مختصات $y$ نقطه $C$ نزدیک $\mathbf{1.5}$ است. * **مختصات $C$ (تخمینی از نمودار):** $\mathbf{(3, 1.5)}$ **نتیجه نهایی:** به دلیل نقص اطلاعات برای یافتن $f(5)$ و مختصات دقیق $C$ (یا نقطه تماس خط مماس)، از مقادیر خوانده شده از نمودار استفاده می‌کنیم. * **A:** $athbf{(4, 2.5)}$ * **B:** $athbf{(5, 3)}$ * **C:** $\mathbf{(3, 1.5)}$